Вычислительные методы (магистр. курс 1). Часть 1

Форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа носит название интерполяционного многочлена ______ для неравных промежутков

Итерационный метод, при котором последовательно уточняются компоненты решения, причем k-я компонента находится из k-го уравнения, называется методом ______

• Зейделя
• Лагранжа
• Гаусса
• Ньютона

Верны ли утверждения? А) При решении задач часто приходится вычислять производную В) Если функция задана таблично, то методы дифференциального исчисления к исследованию таких функций применить нельзя

• А – да, В – нет
• А – нет, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – да

Если узлы интерполирования равноотстоящие, то вводя обозначения , получим формулу для определения коэффициентов интерполирующего многочлена Лагранжа

Для составления программ и расчетов на ЭВМ метод проб применяется в виде так называемого метода _________ деления

Метод Рунге-Кутта может быть применен и к решению систем ____________ уравнений

Метод, используемый для конечно-разностной аппроксимации, основывается на покрытии области сетью прямоугольных клеток

• высотой k
• шириной 2h
• шириной h в направлении оси Ох
• высотой k в направлении оси Oy

Все цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой цифры слева, называются _______ цифрами числа

• положительными
• значащими
• неотрицательными
• основными

Верно ли утверждение? А) Приближенные методы решения наиболее разработаны для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными В) Линейные или вполне линейные дифференциальные уравнения в частных производных содержат произведение производных искомой функции

• А – нет, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет
• А – да, В – да

Верны ли утверждения? А) Узлы интерполяции, лежащие ближе к интерполируемому значению , окажут большее влияние на интерполяционный многочлен, узлы, лежащие дальше, — меньшее В) Узлы интерполяции, лежащие ближе к интерполируемому значению , окажут меньшее влияние на интерполяционный многочлен, узлы, лежащие дальше, — большее

• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет
• А – нет, В – да
• А – да, В – да

Верны ли утверждения? А) При более детальном подходе к изучению задачи в целом оказывается, что столь высокая точность и не нужна В) Даже если математическая модель настолько груба, все равно есть смысл требовать высокую точность решения задачи

• А – нет, В – нет
• А – да, В – да
• А – нет, В – да
• А – да, В – нет

Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке . Функция — непрерывная. Установите соответствие между понятиями

• Метод итерации
• найдем середину отрезка, т.е. . Тогда отрезок разделится на два отрезка. Если , то — точный корень уравнения . Если , то из этих двух образовавшихся отрезков выберем тот, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. Обозначим его через и также делим его пополам и т.д.
• Метод хорд
• на достаточно малом промежутке дуга кривой заменяется касательной, проведенной к кривой в точке с координатами или .
• Метод касательных
• на достаточно малом промежутке дуга кривой заменяется стягивающей её хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ох
• Метод проб
• заменим уравнение равносильным уравнением (1). Выберем каким-либо способом и подставим его в правую часть уравнения (1) и получим. Затем это значение снова подставим в уравнение (1) и получим . Таким образом, получим последовательность Предел этой последовательности и будет корнем уравнения

Предельная относительная погрешность m-й степени приближенного числа (m – натуральное) ______ предельной относительной погрешности самого числа

• в m раз больше
• не меньше
• равно
• в m раз меньше

Верны ли утверждения? А) Разделенные разности порядка от многочлена -й степени постоянны В) Разделенные разности порядка больше от многочлена -й степени равны нулю

• А – да, В – да
• А – да, В – нет
• А – нет, В – нет
• А – нет, В – да

Идея метода Ньютона заключается в том, что:

• вспомогательная задача выбирается так, чтобы погрешность замены имела не более высокий порядок малости, чем первый (в определяемом далее смысле), в окрестности имеющего приближения
• за следующее приближение принимается решение этой вспомогательной задачи
• в окрестности имеющего приближения xn задача заменяется некоторой вспомогательной линейной задачей
• вспомогательная задача выбирается так, чтобы погрешность замены имела более высокий порядок малости, чем первый (в определяемом далее смысле), в окрестности имеющего приближения

Если отрезок разбить на N отрезков и последовательно получать приближения, приравнивая значения производных на отрезках равными , то при расчетная формула будет иметь вид. Этот метод называется методом _________

К достижениям, которые дают технические и программные средства для решения задач с использованием ЭВМ, относятся:

• снижение стоимости компьютеров
• разработка программных средств общения с ЭВМ
• увеличение быстродействия ЭВМ, расширение памяти, совершенствование структуры ЭВМ и технических средств общения с ними
• уменьшение энергоемкости ЭВМ

Метод вычисления приближенного интеграла, при котором на отрезке дуга АВ графика подынтегральной функции заменяется стягивающей её хордой и вычисляется площадь фигуры, ограниченной этой хордой, осью Ох и прямыми и , называется методом ___________

Методы решения алгебраических задач разделяются на

• итерационные
• нечеткие
• вероятностные
• точные

Анализ усложненных моделей явления потребовал создания специальных

• численных методов решения задачи
• новых методик исследования явлений природы
• методик разработки математических моделей явления
• новых алгоритмов исследования явлений

Оценка погрешности интерполяции при любых узлах интерполяции ______

Если в запись уравнения входят только ___________ функции, то уравнение называется алгебраическим

Установите соответствие

• Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
• простейшие формулы для приближенного вычисления одномерных интегралов по отрезку
• Конечно-разностные уравнения
• формулы для приближенного вычисления многомерных интегралов (когда размерность интеграла больше единицы)
• Кубатурные формулы
• уравнения относительно функций дискретного переменного, возникающие при аппроксимации обыкновенных и многомерных дифференциальных уравнений
• Квадратурные формулы
• квадратурные формулы, полученные с помощью интегрирования интерполяционного многочлена

Установите правильную последовательность действий при решении уравнения методом половинного деления

• найдем середину отрезка, т.е. . Тогда отрезок разделится на два отрезка. Обозначим его через и также делим его пополам и т.д.
• если , то определим знаки функции на концах отрезка
• из этих двух образовавшихся отрезков выберем тот, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков. Обозначим полученный отрезок через и т.д.
• вычислим . Если , то — точный корень уравнения

В методе Рунге-Кутта вместо непосредственных вычислений определяются четыре числа

• ;
• ;
• ;
• ;

Равенство , где должно быть равно нескольким сотым, используют для оценки правильности выбора h шага ____________

Верны ли утверждения? А) Повышение точности интегрирования иногда достигается за счет разбиения отрезка на равные части В) Если подынтегральная функция или её производные невысокого порядка имеют участки резкого изменения, например, обращаются в бесконечность, то такие функции плохо приближаются многочленами сразу на всем отрезке интегрирования

• А – да, В – да
• А – нет, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет

Метод релаксации заключается в следующем

• после уточнения каждой координаты по методу Зейделя производится смещение в обратном направлении на это же смещение
• после уточнения каждой координаты по методу Зейделя производится смещение в том же направлении на это же смещение
• после уточнения каждой координаты по методу Зейделя производится смещение в том же направлении на р-ю часть этого смещения
• после уточнения каждой координаты по методу Зейделя производится смещение в обратном направлении на р-ю часть этого смещения

Погрешность, вызванная неточным заданием исходных данных задачи, называется

• неустранимой погрешностью
• вычислительной погрешностью
• погрешностью математической модели
• погрешностью метода

Операция, при которой отбрасывают одну или несколько последних цифр и при необходимости заменяют их нулями, называется ____________ числа

Метод вычисления приближенного интеграла, при котором на отрезке подынтегральная функция заменяется квадратичной функцией, принимающей в узлах , значения , , и в качестве интерполяционного многочлена используется многочлен Ньютона, называется методом ___________ или иначе методом Симпсона

Наиболее известным из точных методов решения систем линейных уравнений является

• метод отражений
• метод последовательного исключения неизвестных
• метод неопределенных коэффициентов
• метод простой итерации

Вычисления по методу Рунге-Кутта удобно располагать по схеме в таблицу. Установите порядок действий при вычислении по методу Рунге-Кутта

• В столбцы таблицы 2 и 3 текущей строки записывают нужные значения и . Если строка первая, то записывают начальные данные и .
• Значения и текущей строки подставляют в правую часть дифференциального уравнения и определяют и записывают в столбец 4 этой же строки
• Полученное значение столбца 4 умножают на шаг интегрирования и вычисляют и записывают в столбец 5 этой же строки. Найденные значения умножают на соответствующий коэффициент (на 1 , если это или , или на 2, если это или ) и результат записывают в столбец 6 текущей строки.
• Результат 6 столбца суммируют, делят на 6 и определяют и .Затем все вычисления повторяют, начиная с 1-го шага, до тех пор, пока не будет пройден весь отрезок

Разделенная разность разности равна ___________ разделенных разностей уменьшаемого и вычитаемого

Верны ли утверждения? А) Абсолютная погрешность округления не превосходит половины единицы разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой В) При округлении приближенного числа получается новое приближенное число, абсолютная погрешность которого складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления

• А – да, В – нет
• А – да, В – да
• А – нет, В – нет
• А – нет, В – да

Если обозначить , , , , , то упрощенная форма записи линейного дифференциального уравнения в частных производных будет иметь вид

Если , — приближенные значения корня, соответственно, с недостатком и с избытком, — -ое приближенное значение корня, — требуемая точность решения, то для оценки погрешности вычислений надо проверить выполнение соответствующих условий в зависимости от метода решения. Установите соответствие между методами и условиями для оценки погрешности вычислений

• Метод итерации
• Метод касательных
• Метод хорд
• где
• Метод проб
• , где число, удовлетворяющее условию

К стандартным каноническим формам дифференциальных уравнений в частных производных относятся

• эллиптические
• гиперболические
• квадратные
• параболические

Верны ли утверждения? А) При решении дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта необходимо производить много вычислений для нахождения В) На практике применяется метод Адамса, который не требует многократного подсчета правой части уравнения

• А – нет, В – нет
• А – нет, В – да
• А – да, В – да
• А – да, В – нет

Верны ли утверждения? А) Если математик не участвует в обсуждении физической постановки задачи, то представление о величине неустранимой погрешности ему не нужно знать В) Имея представление о величине неустранимой погрешности, математик-исследователь может разумно сформулировать требования к точности результата численного решения задачи

• А – нет, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет
• А – да, В – да

Погрешность, вызванная неточным математическим описанием задачи, называется

• погрешностью математической модели
• вычислительной погрешностью
• неустранимой погрешностью
• погрешностью метода

К методам уточнения корней уравнения относятся методы

• касательных
• графический
• проб
• хорд

Метод, при котором последующее приближение получается из предыдущего смещением в направлении, противоположном градиенту функции, называется методом __________ спуска

Функция задана таблично Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид

Разности называются __________

• разностями высшего порядка
• центральными разностями
• конечными разностями первого порядка
• конечными разностями нулевого порядка

Функция задана таблично с узлами интерполирования , . Всевозможные отношения , ,…, называются разделенными __________ первого порядка

Все неалгебраические функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические называются ________

Верны ли утверждения? А) Обобщением понятия производной является понятие разделенной разности В) При фиксированных разделенная разность является линейным функционалом от функции

• А – нет, В – да
• А – да, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет

Верны ли утверждения? А) Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов В) Доля задач, интегрируемых в явном виде, существенно меньше

• А – нет, В – нет
• А – нет, В – да
• А – да, В – нет
• А – да, В – да

Верны ли утверждения? А) При практическом анализе погрешности численного интегрирования часто пользуются различными полуэмпирическими приемами. В) В настоящее время важнейшей проблемой является создание систем решения задач с максимально простым обращением, предполагающих малую квалификацию пользователя в отношении численных методов и программирования

• А – да, В – да
• А – нет, В – нет
• А – да, В – нет
• А – нет, В – да