Линейная алгебра (курс 1). Часть 1

Ранг квадратичной формы равен числу коэффициентов в ее каноническом виде

• неотрицательных
• равных единице
• неположительных
• отличных от нуля

Матрица, обратная к матрице А= равна

• А=Е=
• А=
• А=
• А=

Определитель матрицы S = равен

• det S = 3
• det S = -21
• det S = 9
• det S = 0

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• неотрицательно
• положительно
• отрицательно
• неположительно

Неравенство треугольника выражается формулой

• || х+у || £ || х ||+|| у ||
• || х+у ||
• || х+у || > || х ||+|| у ||
• || х+у || ³ || х ||+|| у ||

В матрице В = главную диагональ составляют элементы

• 0; -3; 2; 9
• -4; 1; 0; 3
• 5; 1; -3; 2
• -1; 2; 0; 11

Ранг матрицы В = равен

• 1
• 2
• 3
• 4

Матрица А имеет порядок 3·9, тогда ранг матрицы r(А) удовлетворяет условию

• r(А)=9
• r(А)
• r(А)
• r(А)=3

В матрице К = побочную диагональ составляют элементы

• 5; 3; -1; -3
• 2; 4; 3; 0
• 2; 3; -1; 2
• -1; 3; 4; 0

В линейном пространстве любой вектор можно разложить по данному базису

• различными вариациями
• единственным образом
• множеством комбинаций
• в некоторых случаях

Два вектора в евклидовом пространстве ортогональны, если их скалярное произведение равно

• -1
• 1
• 0
• а

В линейном пространстве С[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b], линейно независимой является система функций

• 1, sin2x, cos 2x
• 1, sin x, cos x
• 1, cos2x, sin2 x
• 1, cos2x, cos 2x

Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, является матрицей

• диагональной
• ортогональной
• треугольной
• симметрической

В линейном пространстве К2[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 7х2 +9х + 5 имеет в базисе 1,х,х2 координаты

• 9, 7, 5
• 5, 9, 7
• 9, 5, 7
• 5, 7, 9

Если А = (аij)nn квадратная матрица, то главную диагональ образуют элементы

• а11, а22, . . . , аnn
• аn1 , аn2 , . . . , аnn
• а11, а12, . . . , а1n
• а1n, а2n-1, . . . , аn1

Обратной к ортогональной матрице Q является матрица

• QТ
• -Q
• E·Q
• ·Q

Матрица , состоящая из коэффициентов системы линейных уравнений А=, называется

• однородной системой
• расширенной матрицей системы
• матрицей системы уравнений
• неоднородной системой

Если существуют произведения АВ и ВА, причем АВ = ВА, то матрицы А и В называют

• перестановочными
• транспонированными
• симметричными
• равными

Нормированное пространство — это линейное пространство, в котором задана норма

• базиса
• координат
• вектора
• скаляра

Квадратичная форма f(x) = xTAx, где x = (x1, …, xn)T положительно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство

• f(x) = 0
• f(x) ³ 0
• f(x) ¹ 0
• f(x) > 0

Если матрица А является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения

• отрицательные
• ненулевые
• действительные
• положительные

Матрица А имеет порядок 3·6. Максимальное число линейно независимых строк равно 2, тогда максимальное число линейно независимых столбцов равно

• 3
• 4
• 2
• 6

Если det A равен , то определитель обратной матрицы det( А) равен

• det( А)=1
• det ( А)=2,5
• det( А)=-1
• det( А)=-2,5

В линейном арифметическом пространстве система векторов е1 = (1,0,…,0), е2 = (0,1,0,….,0), …., еn= (0,0,…,1) является

• условно независимой
• линейно независимой
• абсолютно зависимой
• линейно зависимой

Метод приведения матриц к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа называют методом

• Гамильтона
• Вейерштрасса
• Сильвестра
• Гаусса

Норма вектора в евклидовом пространстве определяется по формуле

• || х || =
• || х ||= —
• || х || = (х, х)2
• || х ||=||

В линейном пространстве К3[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 5х2+2х+ 4х3+3 имеет в базисе 1, х, х2, х3 координаты

• 3 ,2, 5, 4
• 2, 3, 4, 5
• 5, 3, 4, 2
• 4, 5, 2, 3

Характеристическое уравнение матрицы А = имеет вид

• (2-l)(0-l) -7 = 0
• (7-l)(1- l) = 0
• (7-l)(1-l) -2 = 0
• (7l-1)(l -1) = 0

Квадратичная форма f(x) = xTAx, где x = (x1, …, xn)T неотрицательно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство

• f(x) ³ 0
• f(x) = 0
• f(x) ¹ 0
• f(x) > 0

Квадратичная форма xTAx от трех переменных с матрицей А= определена

• положительно
• отрицательно
• неположительно
• неотрицательно

Если две строки матрицы А равны, то ее определитель

• detА > 0
• detА ¹ 0
• detА
• det А= 0

При перестановке двух строк матрицы определитель

• увеличивается на 1
• меняет знак
• уменьшается на 1
• не меняется

Определитель матрицы А = равен

• det A = 13
• det A = 7
• det A = 10
• det A = 5

Пусть В — матрица обратная к А, тогда det(А·В) равен

• detA + detB
• 1
• (detA)

Для нормы вектора || х || справедлива аксиома

• || х || £ 0
• || х || ³ 0
• || х || > 0
• || х ||

Отображение А : R2 ® R2, заданное выражением Ах = (-у, -х), где а={х,у} является

• зеркальным
• переносом
• линейным
• нелинейным

Система векторов е1 = (1,0,-1); е2 = (1,0,1); е3 = (0,1,0) в евклидовом арифметическом пространстве R3 образует базис

• неортогональный
• прямоугольный
• ортонормированный
• ортогональный

Квадратичная форма канонического вида не имеет в своей записи

• отличающихся друг от друга коэффициентов
• неотрицательных коэффициентов
• квадратов некоторых переменных
• попарных произведений переменных

Если А и А — взаимообратные матрицы, тогда

• detA=
• detA=detE· det()
• detA= det()
• detA=-det()

Если оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то этот оператор

• проектирования
• самосопряженный
• ортогональный
• тождественный

Характеристическое уравнение матрицы А = имеет вид

• (5l-1)(-l-1) = 0
• (5-l)(-1- l) = 0
• -5 + (1-l)(0-l) = 0
• (5-l)(-1-l) — 1 = 0

А — квадратная матрица второго порядка и detА=3, тогда det(2А) равен

• 6
• 9
• 5
• 12

A — квадратная матрица третьего порядка и ее определитель det A=-1, тогда det (2A) равен

• (-1)
• -27
• -3
• +27

Система уравнений, у которой не существует решения, называется

• несовместной
• нулевой
• однородной
• неоднородной

Матрица тождественного оператора независимо от выбора базиса в линейном пространстве является единичной

• матрицей-столбцом
• прямоугольной матрицей
• матрицей-строкой
• квадратной матрицей

Система уравнений совместна, если ранги матриц (r () — расширенной, r (A) — основной) удовлетворяют условию

• r () ¹ r (A)
• r () = r (A)
• r ()
• r () > r (A)

Отображение А : R2 ® R2, заданное выражением Ах = (хсos a, ysin a), где а — некоторый фиксированный угол, является

• линейным
• поворотом R2
• тригонометрическим
• нелинейным

В линейном пространстве К3[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 3х2+8х+4х3+5 имеет в базисе 1, х, х2, х3 координаты

• 4, 8, 3, 5
• 5, 8, 3, 4
• 4, 3, 8, 5
• 8, 3, 4, 5

Пусть в произвольном линейном пространстве даны два вектора с1 и с2 и пусть векторы а = 5с1 + 3с2, е = -с1 + 2с2, у = 7с1 — 3с2. Тогда система векторов а, е, у

• является базисом
• перпендикулярная
• линейно независима
• линейно зависима

Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению l линейного оператора А : L ® L, является в L

• ортонормированным базисом
• ортогональным базисом
• линейным подпространством
• линейной оболочкой базиса