Краткий курс теории вероятностей. Часть 1

Если вероятность события A есть р(A), то чему равна вероятность события, ему противоположного?

• 1
• 0.5
• 1-р(A)
• 0

В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

• 0.75
• 0.4
• 0.25
• 0.5

В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба окажутся исправными?

• 0.001
• 0.213
• 0.9801
• 0.01

Чему равна вероятность достоверного события?

• 1
• 0
• 0.1
• Может быть любым числом

Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад лампочек окажутся исправными обе?

• 0.9999
• 0.998001
• 0.98
• 0.9

Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то — 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу — 0,1; что не перебежит — 0,9. Вероятность победы:

• 0,1·0,8+0,9·0,3
• 0,9·0,2+0,1·0,7
• 0,1·0,2·0,9·0,7
• 0,1·0,2+0,9·0,7

Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора — 0.03, второго — 0.06. Найти вероятность того, что при включении прибора откажет только второй элемент.

• 0.0671
• 0.0582
• 0.0938
• 0.06

В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

• 0.75
• 0.5
• 0.05
• 0.25

Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три выстрела, он два раза попадет?

• 0.392
• 0.314
• 0.324
• 0.384

Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Равной чему можно принять вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем (назовем это число M) взойдет из каждой тысячи посеянных?

• p=0.15; M=150
• p=0.85; M=850
• q=3/20; M=800
• p=17/20; M=750

При изготовлении детали заготовка должна пройти четыре операции. Полагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти (с точностью до 4-х знаков после запятой) вероятность изготовления нестандартной детали, если вероятность брака на первой стадии операции равна 0.02, на второй — 0.01, на третьей — 0.02, на четвертой — 0.03.

• 0.0777
• 0.9200
• 0.0800
• 0.9222

Вероятность появления события А в испытании равна 0.1. Чему равно среднеквадратическое отклонение числа появлений события А в одном испытании?

• 0.9
• 0.3
• 0.03
• 0.09

Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Известны вероятности: р(X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Найдите р(X = 8).

• 0.45
• 0.5
• 0.4
• 0.55

Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P(A) вычисляется по формуле

• Муавра-Лапласа
• Бернулли
• Байеса
• Полной вероятности

Чему равна вероятность невозможного события?

• 0
• Может быть любым числом
• 0.5
• 1

События A и B называются несовместными, если:

• р(AB)=р(A)+р(B)
• р(AB)=р(A)р(B)
• р(AB)=0
• р(AB)=1

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.7, у другого — 0.8. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

• 0.94
• 0.96
• 0.8
• 0.85

Человеку, достигшему 60-летнего возраста, вероятность умереть на 61-м году жизни равна 0.09. Какова вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет хотя бы один умрет через год? (с точностью до 4-х знаков после запятой).

• 0.9100
• 0.8281
• 0.7536
• 0.2464

Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% — первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.

• 0.98
• 0.7
• 0.02
• 0.97

Вероятность появлений события А в испытании равна p. Чему равна дисперсия числа появлений события А в одном испытании?

• 1-p
• 1/p
• p(1-p)
• p

X и Y — независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).

• 30
• 38
• 16
• 26

В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки — 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

• 0.85
• 0.83
• 0.9
• 0.87

Количество поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром λ=6. Вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более двух партий равна

Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется:

• р(B/A)=р(AB)р(A)
• р(B/A)=р(AB)/р(B)
• р(B/A)=р(AB)
• р(B/A)=р(AB)/р(A)

Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится интервал и что дала проверке в нашем случае?

• , игра честная
• , игра честная
• , игра честная
• , игра нечестная

Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 — по 5 руб., на 10 — по 10 руб. Какая таблица описывает закон распределения выигрыша?

Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% — первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта.

• 0.97
• 0.7
• 0.03
• 0.27

Бросаются 2 монеты. Вероятность того, что выпадут и герб, и решка, равна

• 0.5
• 1/4
• 1/3
• 0.3

Проверяется гипотеза о том, что вероятность выиграть в рулетку 1/37. Доверительный интервал с уровнем доверия 95% строится по формуле , где , n — число испытаний, m — количество выигрышей. Сколько надо сделать число ставок (т.е. каким взять n), чтобы отношение числа выигрышей (m к числу n), отличалось от 1/37 не более, чем на 0,01?

• n =10
• n =100
• n =900
• n =500

Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть в течение 20 лет равна 0.02. Какова вероятность того, что из 200 застраховавшихся на 20 лет человек в возрасте 20 лет ни один не умрет?

• 0.256
• 0.0235
• 0.0183
• 0.0145

На некотором заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1.6% изготовленных изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно непригодных изделий (назовем это число M) будет в партии из 1000 изделий?

• p = 0.984; M = 16
• p = 0.016; M = 160
• р = 1.6; M = 16
• p = 0.16; M = 16

Если вероятность р некоторого события неизвестна, а для оценки этой вероятности производится n испытаний, то 95%-ый доверительный интервал для величины р находится по формуле

• I0,95 (p)=, где
• I0,95 (p)=
• I0,95 (p)=
• I0,95 (p)=, где

Куплено 500 лотерейных билетов. На 40 из них упал выигрыш по 1 руб., на 10 — по 5 руб., на 5 — по 10 руб. Найдите средний выигрыш, приходящийся на один билет.

• 0.35
• 2
• 0.28
• 1

MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X — 3Y).

• 2
• 3
• 5
• 4

Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба?

• 0.0001
• 0.001
• 0.01
• 0.02

Задана таблица распределения случайной величины. Найти р(X

• 5/8
• 3/8
• 3/4
• 1/2

На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок L длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

• 0.5
• 0.1
• 0.2
• 1/4

Вероятность того, что дом может сгореть в течение года, равна 0.01. Застраховано 500 домов. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что сгорит не более 5 домов?

• распределением Пуассона
• интегральной формулой Муавра-Лапласа
• локальной формулой Муавра-Лапласа
• надо сосчитать по формуле Бернулли, асимптотические формулы дадут большую ошибку

Страхуется 1600 автомобилей; вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0.2. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число аварий не превысит 350?

• надо сосчитать по формуле Бернулли, асимптотические формулы дадут большую ошибку
• интегральной формулой Муавра-Лапласа
• локальной формулой Муавра-Лапласа
• распределением Пуассона

Человеку, достигшему 60-летнего возраста, вероятность умереть на 61-м году жизни равна 0.09. Какова вероятность того, что из трех человек в возрасте 60 лет ни один не будет жив через год?

• 0.000729
• 0.000713
• 0.999886
• 0.999271

Число грузовых машин, проезжающих мимо бензоколонки, относится к числу легковых машин, как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и одна из 25 легковых машин останавливается для заправки. Найти вероятность того, что проезжающая машина будет заправляться.

• 0.5
• 0.036
• 0.04
• 0.33

Вратарь парирует в среднем 30 % всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей?

• 0.3248
• 0.2811
• 0.3145
• 0.2646

Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. n велико. Вероятность того, что событие A наступит m раз, вычисляется по формуле или используются асимптотические приближения?

• вычисляется по формуле p(1-p)
• используются асимптотические приближения
• по формуле Байеса
• вычисляется по формуле Бернулли

С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0.01 и 0.04. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь окажется бракованной.

• 0.024
• 0.032
• 0.028
• 0.022

Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора — 0.05, второго — 0.08. Найти вероятность того, что при включении прибора оба элемента будут работать.

• 0.874
• 0.826
• 0.928
• 0.871

Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.6, у другого — 0.7. Найти вероятность того, что цель будет поражена двумя пулями.

• 0.96
• 0.88
• 0.42
• 0.56

Монету бросали 100 раз. 70 раз выпал орел, для проверки гипотезы о симметричности монеты строим доверительный интервал и проверяем, попали ли мы в него. По какой формуле строится доверительный интервал, и что даст проверка в нашем конкретном случае?

• I 0,95 (p) =, монета симметричная
• I 0,95 (p) =, монета симметричная
• I 0,95 (p) =, монета не симметричная
• I 0,95 (p) =, монета не симметричная

Случайная величина X принимает значения 7, -2, 1, -5, 3 с равными вероятностями. Найдите MX.

• 0
• 0.8
• 0.7
• 0.9

Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб?

• 11/16
• 17/32
• 5/16
• 15/32

На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции, а машина B — 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной B, оказываются бракованными. Какова вероятность, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной?

• 0.006
• 0.007
• 0.008
• 0.5