Элементы функционального анализа. Часть 1

Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = (3х2 — 1). Разложение элемента f(x) = -3×2 + 4 по многочленам Лежандра имеет вид:

• f(x) = 4P0 — 3P2
• f(x) = 2P0 — 3P2
• f(x) = -3P0 + 4P2
• f(x) = 3P0 — 2P2

Уравнение ( t6+s6)x(s)ds = sint является интегральным уравнением

• Фредгольма первого рода
• Вольтерра второго рода
• Вольтерра первого рода
• Фредгольма второго рода

Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В = . Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = t3s4 в пространстве L2[0,1] равна

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Множеством предельных точек множества {: n = 1;2;3;…} является

• {0}
• Æ — пустое множество
• {0;: n = 1;2;3;…}
• {: n = 1;2;3;…}

Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {-1,0,1} , v {5,4,-3} евклидова пространства R3 даёт векторы u,w, причем вектор w равен

• {4,1,1}
• {1,4,4}
• {1,4,1}
• {1,1,4}

Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В = Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = et+s в пространстве L2[0,ln2] равна

• 0,5
• 1,9
• 2,5
• 1,5

Наилучшее линейное приближение функции ех в пространстве L2[-1,1] равно

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при l , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lt4s5x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

• 2
• 5
• 3
• 2

Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = х2 отрезка [-0,4 ; 0,3] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия

• 0,8
• -0,8
• 0,6
• 0,16

Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A=

• {-7;-3}
• {3;7}
• { ; }
• {- ; }

Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 3×2 и cosx3 в пространстве L2 [0,2] равно

• cos2
• cos8
• sin2
• sin8

Норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (a1+b1i)z1, (a2+b2i)z2, (a3+b3i)z3 ) на унитарном пространстве С3 определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (5+2i)z1, (-1+i)z2, (3-5i)z3 ) равна

• 5
• 2

Норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (a1+b1i)z1, (a2+b2i)z2, (a3+b3i)z3 ) на унитарном пространстве С3 определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (3-6i)z1, (1+i)z2, (4+3i)z3 ) равна

• 5
• 6

Скалярное произведение функций f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx. Тогда скалярное произведение элементов 2х и в пространстве L2 [0,2] равно

• е2 — 1
• 4е4
• 4е2
• е4 — 1

Уравнение x(t) — x(s)ds = et является интегральным уравнением

• Фредгольма второго рода
• Вольтерра первого рода
• Вольтерра второго рода
• Фредгольма первого рода

Норма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: = . Тогда норма элемента ex в пространстве L2 [ln2,ln6] равна

• 16
• 6
• 18
• 4

Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• {1;6}
• {-6;-1}
• {-1;-}
• {; 1}

Норма В интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) в пространстве L2[a,b] определяется по формуле В = Тогда норма интегрального оператора Фредгольма с ядром К(t,s) = sin(t)×cos(s) в пространстве L2[0,p] равна

Наилучшее линейное приближение функции cosx в пространстве L2[-1,1] равно

• 2cos1
• 2sin1
• sin1
• cos1

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества (-1,+¥) является

• [-1,+ ¥)
• [-1,+ ¥]
• (-¥,-1]
• (-1,+ ¥)

Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = e 0,5x — 1 отрезка [-0,5;0,5] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия

• 0,5
• 0,5

Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сosx равен

• -2
• -5
• 0
• -4

Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• {2;7}
• { ; 0,5}
• {-0,5; }
• {-7;-2}

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при l , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lcost×sins×x(s)ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

Многочлены Лежандра: Р0 = 1, Р1(х) = х, Р2 = (3х2 — 1). Разложение элемента f(x) = -6×2 +x -5 по многочленам Лежандра имеет вид:

• f(x) = -5P0 + P1 — 6P2
• f(x) = -7P0 + P1 — 4P2
• f(x) = -6P0 + P1 — 5P2
• f(x) = -6P0 + 2P1 — 5P2

Уравнение х(t) -cos(t+2s)x(s)ds = cos2t является интегральным уравнением

• Вольтерра первого рода
• Фредгольма первого рода
• Фредгольма второго рода
• Вольтерра второго рода

Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = cosx — 1 отрезка [-;] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия

• —

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства ex + 3x2y4 > 1 является множество решений

• ex + 3x2y4 £ 1
• ex + 3x2y4
• ex + 3x2y4 = 1
• ex + 3x2y4 ³ 1

Регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• (-¥;-0,5) È (-0,5; -) È (-;+ ¥)
• (-¥;) È (; 0,5 ) È (0,5;+ ¥)
• (-¥;-7) È (-7;-2) È (-2;+ ¥)
• (-¥;2) È (2;7) È (7;+ ¥)

Регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• (-¥,) È (,1) È (1,+ ¥)
• (-¥,-1) È (-1,-) È (-,+ ¥)
• (-¥,1) È (1,6) È (6,+ ¥)
• (-¥,-6) È (-6,-1) È (-1,+ ¥)

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при l , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — l(ts)3 x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

• 8
• 6
• 7
• 9

Наилучшее линейное приближение функции x2 в пространстве L2[-1,1] равно

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества решений неравенства х2siny

х2siny > 1
х2siny ³ 1
х2siny = 1
х2siny £ 1

• х2siny > 1
• х2siny ³ 1
• х2siny = 1
• х2siny £ 1

Если j(х) является отображением отрезка [a,b] в себя и имеет непрерывную производную j¢(х) на отрезке [a,b], то коэффициент сжатия оценивается по формуле q = êj¢(х) ê . Тогда отображение j(х) = х3 отрезка [-0,5 ; 0,4] в себя является сжатым с коэффициентом сжатия

• 0,75
• 0,48
• -0,75
• 0,5

Уравнение x(t) -cos(t-s)x(s)ds = lnt является интегральным уравнением

• Фредгольма первого рода
• Вольтерра первого рода
• Вольтерра второго рода
• Фредгольма второго рода

Регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A=

• (-¥;-7) È (-7;-3) È (-3;+ ¥)
• (-¥;3) È (3;7) È (7;+ ¥)
• (-¥;-) È (-; -) È (-;+ ¥)
• (-¥;) È (; ) È (;+ ¥)

Косинус угла между элементами f(x) и g(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: cos(f(x),g(x)) = ; (f(x),g(x)) = f(x)×g(x)dx ; = . Тогда косинус угла между элементами x4 и 1 в пространстве L2 [0,2] равен

• -0,1
• 0,8
• -0,5
• 0,6

Норма элемента f(x) в пространстве L2 [a,b] определяется по формуле: = . Тогда норма элемента x в пространстве L2 [0,3] равна

• 3
• 20,25
• 4,5

Норма элемента f(x) в пространстве С [a,b] определяется по формуле: = . Тогда норма элемента 2×3 — 9×2 + 12x + 1 в пространстве С [0,2] равна

• 7
• 4
• 5
• 6

Норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (a1+b1i)z1, (a2+b2i)z2, (a3+b3i)z3 ) на унитарном пространстве С3 определяется по формуле = max{,,}. Тогда норма оператора А (z1,z2,z3) = ( (-3-i)z1, (3-4i)z2, (2+2i)z3 ) равна

• 5
• 4

Точка х Î А называется предельной для подмножества В Í А, если любая e-окрестность точки х содержит точку множества В, отличную от точки х. Тогда множеством предельных точек множества {1;2;3;…} является

• {0;1;-1;2;-2;…}
• {1;2;3;…}
• Æ — пустое множество
• {0}

Регулярные числа оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• (-¥,-4) È (-4,9) È (9,+ ¥)
• (-¥,9) È (-9,4) È (4,+ ¥)
• (-¥;-) È (-; 0,25) È (0,25;+ ¥)
• (-¥;0,25) È (- 0,25; ) È (;+ ¥)

Уравнение ln(t2+ts+s2)x(s)ds = t + 3 является интегральным уравнением

• Вольтерра второго рода
• Вольтерра первого рода
• Фредгольма второго рода
• Фредгольма первого рода

Спектр линейного оператора А в евклидовом пространстве R2 A = :

• {-9;4}
• {-0,25; }
• {-4;9}
• {-; 0,25}

Уравнение x(s)ds = 2t2 является интегральным уравнением

• Вольтерра второго рода
• Вольтерра первого рода
• Фредгольма второго рода
• Фредгольма первого рода

Коэффициент ряда Фурье элемента f(x) = x2 по ортогональной системе 1, coskx, sinkx, k = 1,2,… пространства L2[-p,p] при сos2x равен

• 0
• 1
• 2
• -1

Наилучшее линейное приближение функции x3 в пространстве L2[-1,1] равно

• 0,6x
• 0,4x
• 1 + 0,6x
• 1 + 0,4x

Уравнение х(t) — ln(t2s — s3)x(s)ds = et является интегральным уравнением

• Вольтерра первого рода
• Фредгольма второго рода
• Фредгольма первого рода
• Вольтерра второго рода

Применение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов u {1,1,1} , v {1,2,3} евклидова пространства R3 даёт векторы u,w, причем вектор w равен

• {0,1,-1}
• {-1,0,1}
• {-1,1,0}
• {1,0,1}

Интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lK(t,s)x(s)ds = y(t) c параметром l решается методом последовательных приближений при l , где В = . Тогда интегральное уравнение Фредгольма x(t) — lsint×sins×x(s) ds = y(t) решается методом последовательных приближений при l, меньшем

• p