Аналитическая геометрия в пространстве. Часть 1

Уравнение x2 – 4y2 = 4 в пространстве определяет

• гиперболоид (однополостный)
• гиперболу
• цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OZ
• цилиндрическую поверхность имеющей направляющей гиперболу с полуосями a = 2, b = 1; образующие параллельны оси OZ

Даны плоскости 1) 2x + y – 2z + 9 = 0 и 2) x – 2y + 2z + 3 = 0. Расстояния d1 и d2 от начала координат до плоскости 1) и 2) соответственно удовлетворяют равенству

• d1 = 3d2
• d1 = 2d2
• d1 = d2

Дана сфера x2 + y2 + z2 – 2x – 8 = 0. Установите верные соответствия между плоскостями и их пересечениями со сферой

• x = 1
• касается сферы в точке C(4,0,0)
• x = – 4
• нет точек пересечения
• x = 4
• окружность y2 + z2 = 9

Поверхность пересекается плоскостью y = 3 по

• паре пересекающихся прямых
• гиперболе
• в точке (2,3,1)
• кривой

Плоскость z – 1 = 0 пересекает поверхность по _____ (слово) с полуосями 4 и 3

Расстояние d от точки P(5,10,15) до прямой равно

• d = 2
• d = 0
• d = 3
• d = 1

Прямая параллельна координатной плоскости

• YOZ
• XOZ
• XOY
• ни одной координатной плоскости не параллельна

Горловым сечением однополосного гиперболоида x2 + y2 – z2 – 4x = 0 является

• эллипс с центом (2,0,0) и полуосями a = 2, b = 1
• эллипс с центом (0,0,0) и полуосями a = 1, b = 2
• окружность с центом (0,0,0) и радиусом R = 4
• окружность с центом (2,0,0) и радиусом R = 2

Плоскость x + 2y + 1 =0

• перпендикулярна оси OZ
• проходит через точку М(1,2,1)
• параллельна оси OZ
• параллельна плоскости XOY

Точкой пересечения прямой и плоскости 3x + 2y – z – 2 = 0 является точка

• M(–3,6,1)
• M(3,6,–1)
• M(4,3,0)
• M(1,9,1)

Уравнение x2 – y2 + z2 = 0 в пространстве определяет

• конус вращения
• точку (0,0,0)
• однополостный гиперболоид с осью симметрии OY
• конус с вершиной в начале координат и осью симметрии OY

Дана плоскость x + y + z – 9 = 0 и точка M(3,3,3), тогда

• точка М и начало координат лежат на плоскости
• точка М не лежит на плоскости
• точка М отстоит от плоскости на расстоянии 9
• точка М является проекцией начала координат на плоскость

Поверхность пересекается плоскостью z = 2 по эллипсу с полуосями

• a = 4, b = 6
• a = 4, b = 9
• a = 2, b = 4
• a = 2, b = 3

Канонические уравнения прямой имеют вид

Даны плоскости 1) 2x + 2y – z + 12 = 0; 2) x – 2y + 2z + 2 = 0; 3) 2x – y + 2z – 6 = 0. С увеличением расстояния от начала координат плоскости располагаются в порядке

• 2, 3, 1
• все плоскости отстоят от начала координат на одинаковом расстоянии
• 2, 1, 3
• 1, 2, 3

Параметрические уравнения прямой имеют вид

• z = 2 + 3t; y = t; z = 3 + 4t
• x = 2; y = 0; z = 3
• x = 2 + 3t; y = 0; z = 3 + 4t
• x = 2 – 3t; y = t; z = 3 – 4t

В сечении поверхности x2 – y2 + z2 = 0 координатной плоскостью XOZ получим

• гиперболу
• окружность
• пару прямых
• точку

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку M(1, 2, 3) и ось OY, имеет вид

• 3x + z = 0
• 3x – z = 0
• 2x – y = 0
• x – 3z = 0

Прямая и плоскость y – z + 5 = 0

• пересекаются
• параллельны
• прямая лежит в плоскости
• перпендикулярны

Поверхность x2 + z2 = x пересекается в единственной точке координатной плоскостью

• XOZ
• XOY
• YOZ
• z = 0

Дата плоскость 3x + y – 2z + 5 = 0. Точка P(−1,0,1)

• расстояние от точки P до плоскости равно нулю
• расстояние от точки P до плоскости равно
• расстояние от точки Р до плоскости равно 5
• лежит на плоскости

Даны точки M1(1,1,1) и M2(1,1,0). Точка M2 является проекцией M1 на

• ось OZ
• плоскость x + y + z = 2
• плоскость ZOY
• плоскость XOY

Плоскость, проходящая через точку M1(1,–1,–1) перпендикулярно к прямой , задается уравнением

• 2x – 3y + 4z – 5 = 0
• 2x – 3y + 4z – 1 = 0
• 2x – 3y + 4z = 0
• 2x – 3y + 4z + 1 = 0

Плоскость Ax +By + 3z – 5 = 0 перпендикулярна прямой x = 3 + 2t, y = 5 – 3t, z = –2 – 2t при

• A = –2,
• A = –3,
• A = 3, B = 9
• 2A – 3B – 6 = 0

Прямая и плоскость x – 2y – 3z + 9 = 0

• прямая лежит в плоскости при λ = −10
• параллельны при λ = −10
• перпендикулярны при λ = 4
• перпендикулярны при любом λ

Прямая параллельна плоскости 7x + λy – 3z + 10 = 0 при λ равном ___ (число)

Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M(2, 0, –3) параллельно оси OZ, имеют вид

Уравнение x2 + z2 = 2z в пространстве определяет

• цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность , образующие параллельны оси OY
• однополостный параболоид
• цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OY
• параболоид вращения

Прямые и

• лежат в одной плоскости
• параллельны
• совпадают
• имеют общую точку A(3,2,–2)

Направляющий вектор прямой равен

Плоскость 2x – 3z – 4 = 0

• параллельна оси OY
• проходит через точку М(2, –3, –4)
• параллельна плоскости XOZ
• перпендикулярна оси OY

Установите верные соответствия

• z = 0
• уравнение оси OX
• уравнение оси OY
• уравнение плоскости XOY

Расстояние от начала координат до плоскости 4x – 3y + 15 = 0 равно

• 0
• 15
• 5
• 3

Установите верные соответствия

• уравнение оси OZ
• уравнение оси OX
• точка

Прямая пересекает плоскость XOY в точке

• М(0, 2, –1)
• М
• М (2, –1, 0)
• не пересекает плоскость XOY

Проекцией точки M1(2,1,6) на плоскость YOZ является точка

• M2(2,1,0)
• M2(2,0,6)
• M2(0,1,6)
• M2(2,0,0)

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(2, 0, –3), параллельно прямой имеют вид

• x = 5t + 1; y = 2t – 1; z = – t – 1
• x = 2 + 5t; y = 2t; z = – 3 – t
• x = 2t + 1; y = – 2 ; z = – 3t + 2
• x = 2t + 5; y = 2; z = – t – 3

Укажите верные соответствия между секущими плоскостями и кривыми в сечении гиперболоида этими плоскостями

• x = ± 6
• пара пересекающихся прямых, проходящих через начало координат
• x = 0
• гипербола с действительной полуосью 3 и мнимой – 1
• x =± 2
• гипербола с действительной полуосью и мнимой –

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(2,0,–3), перпендикулярно плоскости , имеют вид

• x = 2+ 2t; y = –3t ; z = –3 + 5t
• x = –2 + 2t; y = 3; z = –5 – 3t
• x = –2 + 2t; y = –3t ; z = 3 + 5t
• x = 2 + 2t; y = 3 ; z = 5 – 3t

Нормаль к плоскости x + 2y + 1 = 0

• параллельна плоскости XOY
• параллельна оси OZ
• перпендикулярна оси OZ
• проходит через точку М(1,2,–1)

Уравнение y + x2 = 0 в пространстве определяет

• цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OZ и направляющей параболой
• параболоид вращения с вершиной в точке (0,0,0)
• цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OY и направляющей параболой
• параболу в плоскости XOY

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(1, –1,2) параллельно вектору , имеют вид

• x = –1 + 2t; y = 1 ; z = –2 + t
• x = 1 + 2t; y = –1 ; z = 2 + t
• x = 2 + t; y = –t ; z = 1 + 2t
• x = –2 + t; y = t; z = –1 + 2t

Уравнение определяет

• сферу радиуса a
• конус
• двуполостный гиперболоид
• однополостный гиперболоид вращения

Даны точки М1(–2,2,0), М2(0,0,–2) и плоскость x + 2y –2z – 3 = 0

• плоскость проходит через середину отрезка М1М2
• точка М1 отстоит от плоскости вдвое ближе, чем М2
• обе точки лежат на плоскости
• точка М1 отстоит от плоскости вдвое дальше, чем М2

Даны плоскости 1) 6x + 3y – 2z -7 =0; 2) 2x + 6y -3x + 21 =0; 3) 3x + 2y – 6z – 14 = 0. С увеличением расстояния от начала координат плоскости расположены в порядке

• все плоскости расположены на одинаковом расстоянии
• 1, 3, 2
• 3, 1, 2
• 1, 2, 3

Дана плоскость x + y – z – 6 = 0

• плоскость пересекает оси координат в точках M1(6,0,0), M2(0,–6,0), M3(0,0,–6)
• плоскость пересекает оси координат в точках M1(–6,0,0), M2(0,–6,0), M3(0,0,6)
• плоскость пересекает оси координат в точках M1(6,0,0), M2(0,6,0), M3(0,0,6)
• плоскость отсекает на координатных осях отрезки равной длины

Вектор является ____ (каким?) вектором для плоскости Ax + By + Cz + D = 0 (слово)

Прямая x = 2λt – 1, y = λt + 1, z = – t – 2 перпендикулярна плоскости 2x + y – z + 5 = 0 при λ равном ___ (число)

Плоскость x + y + z – 3 = 0 отстоит от начала координат на расстоянии _____ ед.

• 3

Даны точки М1(–2,2,0), М2(0,0,–2) и плоскость x + 2y – 2z – 3 = 0

• точка М1 отстоит от плоскости вдвое дальше, чем М2
• обе точки удалены от плоскости на расстоянии 3 ед.
• точка М1 отстоит от плоскости вдвое ближе, чем М2
• плоскость делит расстояние между точками пополам