Методы оптимизации. Часть 1

Изопериметрические связи в вариационной задаче на условный экстремум — это связи, выражаемые

• интегральными уравнениями
• дифференциальными уравнениями вида gi(x,y’’)=0 i=1,…,n
• дифференциальными уравнениями вида gi(y,y’’)=0 i=1,…,n
• дифференциальными уравнениями вида gi(x,y,y’)=0 i=1,…,n

Уравнение Эйлера для функционала имеет вид:

Наиболее распространенные методы оптимизации используют понятие

• функциональной экстремали
• системного подхода
• среднеквадратичного критерия оптимизации
• минимума (или максимум функции или функционала

Если функция f(x) на отрезке [a,b] имеет один локальный максимум А и один глобальный максимум В, то:

• A ³ B
• B ³ A
• A = -B
• A = B

Принцип оптимальности Беллмана является основой программирования

• линейного
• динамического
• сепарабельного
• логического

Метод Ритца решения уравнения Эйлера сводится к

• решению системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта
• замене искомой функции линейной комбинацией линейно независимых функций
• замене производной функции конечными разностями
• интегрированию подинтегральной функции методом трапеций

С геометрической точки зрения вариационная задача с подвижными концами состоит в определении кривой

• концы которой расположены на вертикальных прямых х=а и х=b
• имеющей конечное число точек разрыва
• концы которой расположены на горизонтальных прямых y=а и y=b
• концы которой проходят через заданные точки

Функция f(x) имеет на отрезке [a,b] локальный минимум в точке x*, если

• существует число e>0, такое, что для всех х, таких, что |x-x*|*)£f(x)
• существует число e>0, такое, что для всех х, таких, что |x-x*|>e выполняется f(x*)£f(x)
• f(x) ограничена на [a,b]
• f(x*)=0

Методы отыскания экстремума функционала ведут свое начало от

• теории функции комплексного переменного
• численных методов решения дифференциальных уравнений
• классических методов Эйлера — Лагранжа — Гамильтона
• численных методов решения алгебраических уравнений

Необходимым условием существования локального экстремума функции одной переменной является

• обращение в ноль ее второй производной
• обращение функции в ноль
• обращение в ноль ее первой производной
• ограниченность функции

Уравнение Эйлера служит для нахождения экстремума функционала вида

Переходный процесс в теории регулирования — это

• переходы системы из одного состояния в другое под действием случайных факторов
• процесс возвращения системы к исходному состоянию, после окончания действия возмущения
• процесс раздвоения фазовой траектории
• процесс перехода системы в новое качественное состояние

Из перечисленных видов программирования: 1) логическое программирование; 2) функциональное программирование; 3) динамическое программирование, к методам оптимизации можно отнести

• 1 и 2
• только 3
• 2 и 3
• 1 и 3

Классическое вариационное исчисление — исчисление, основанное на

• использовании первой вариации
• методе вариаций и дифференциальном уравнении Эйлера
• методе вариаций с ограничениями
• методе вариаций и интеграле Лебега

Глобальный экстремум функционала — это экстремум, который достигается сравнением всех

• функций, непрерывных на данном отрезке
• функций, ограниченных на данном отрезке
• кривых данного класса
• функций, дифференцируемых на данном отрезке

Минимаксный критерий используется для определения

• оптимальной стратегии при наличии конфликтной ситуации
• минимизации расхода ресурсов на максимальный выпуск продукции
• минимального переходного процесса при максимальной скорости торможения
• минимума затрат при максимуме эффекта

Задача оптимизации программирования — это задача

• оптимизации исходного кода программы
• создания оптимизирующего компилятора
• создания программы, которая оптимально использует ресурсы ЭВМ
• оптимизации отладки и тестирования программы

Точкой бесконечного разрыва функции называется точка, в которой

• функция при подходе к точке разрыва стремятся к бесконечности
• 1-я производная стремится к бесконечности
• 2-я производная стремится к бесконечности
• функция имеет правый и левый пределы не равные между собой

Чтобы решить минимаксную задачу min max aij = ?, требуется найти

• беспроигрышную стратегию
• стратегию, наихудшую для противника
• среди множества худших для нас стратегий противника наименее плохую
• среди множества лучших для нас стратегий — наихудшую

Оптимальная система управления может быть реализована в виде

• стохастического регулирующего механизма
• системы оптимизационных сигналов
• стратегии или способа управления объектом
• системы оптимальных критериев

Гамильтонова форма уравнений Эйлера заимствована из

• классической электродинамики
• квантовой механики
• классической механики
• термодинамики

Условие Лежандра позволяет

• определять знак первой вариации
• находить экстремаль вырожденного функционала
• определять знаки второй производной
• отличать минимум от максимума

Задача на условный экстремум функционала возникает, когда:

• функционал не содержит 2-й производной
• функционал не зависит явно от х
• функционал не содержит 1-й производной
• на функцию наложены дополнительные условия

Пусть задан функционал I(y(x)+eh(x)) (e-число), тогда 2-й вариацией функционала является выражение

Методы оптимизации широко используются при

• решении алгебраических уравнений
• исследовании функциональных зависимостей
• решении систем линейных уравнений
• проектировании сложных инженерных сооружений и систем

Локальная оптимизация программирования — это

• оптимизация отдельных (локальных) программных модулей
• использование локальных критериев динамического программирования
• локальная оптимизация отладочных модулей
• адаптация программы к конкретной архитектуре ЭВМ

С геометрической точки зрения особенностью вариационных задач с подвижными границами является то, что область определения допустимых функций

• фиксирована
• не фиксирована, а меняется от функции к функции
• ограничена отрицательными значениями х
• ограничена положительными значениями х

Возникновение теории управления можно отнести к

• началу XXI
• сороковым годам XX
• сороковым годам XIX
• концу XIX

Функция f(x) имеет на отрезке [a,b] локальный максимум в точке x*, если

• существует число e>0, такое, что для всех х, таких, что |x-x*|*)£f(x)
• f(x*)=0
• f(x) ограничена на [a,b]
• существует число e>0, такое, что для всех х, таких, что |x-x*|*)³f(x)

Если 1-я вариация функционала для данной функции равна нулю, то данный функционал достигает на кривой минимума, если 2-я вариация функционала

• больше нуля
• больше, чем 1-я вариация функционала
• меньше минимального значения функции
• меньше нуля

Каноническая форма дифференциальных уравнений Эйлера основана на

• принципе оптимальности
• использовании интеграла Стильтьеса
• вариационной механике Гамильтона — Лагранжа
• методе неопределенных множителей Лагранжа

Гладкая функция, заданная на отрезке [a,b], имеет на этом отрезке две точки экстремума: локальный минимум — А и глобальный минимум — В. Можно утверждать, что

• B>A
• А³В
• B³A
• B=|A|

Задача о кратчайшем пути является примером

• задачи вариационного исчисления
• задачи принятия решений
• непрерывной оптимизационной задачи
• дискретной оптимизационной задачи

Минимальное значение функции y=x2 — 2x — 1 на отрезке [0,1] достигается в точке

• 1
• 0
• 1/2
• 1/3

Функция Гамильтона для некоторого функционала имеет вид: H=-y+p2/4. Уравнение Эйлера для данного функционала записывается следующим образом:

• 1 + 2y’’ = 0
• 2 — 2y’’ = 0
• 1 — 2y’’ = 0
• y’’ = 0

Неприменимость классических методов вариационного исчисления к некоторым типам разрывных и ступенчатых функций привело к необходимости разработки методов оптимизации типа методов

• Больцано, Коши
• Эйлера, Лагранжа
• Стильтьеса, Кауфмана
• Беллмана, Понтрягина

Прагматические критерии оптимизации — это

• критерии, полученные на основе математических расчетов
• выработанные практикой количественные характеристики оптимальности некоторой системы
• специальные критерии, используемые при расчетах строительных конструкций
• критерии, получаемые на основе решения уравнения Эйлера

Критерий среднего квадрата ошибки применяется при оценке качества

• проектирования строительных конструкций
• работы автоматизированных систем регулирования
• проектирования систем регулирования дорожного движения
• работы автоматизированных систем информации

Уравнение Эйлера для функционала имеет вид

Из перечисленного: 1) преобразованная функция Лагранжа; 2) динамическая система, изменяющая состояние во времени; 3) прямой метод вариационного исчисления, к принципу максимума Понтрягина можно отнести

• только 3
• только 1
• 1 и 2
• 2 и 3

Глобальная оптимизация программирования — это

• создание оптимизирующих компиляторов и отладчиков
• оптимизация общесистемного программного обеспечения
• переупорядочивание исходного кода для исключения избыточных вычислений
• оптимизация программного кода и данных

Вариационное исчисление — это

• метод решения систем нелинейных уравнений
• метод решения систем линейных уравнений
• метод алгебраических уравнений
• раздел математики

Приращением или вариацией dy аргумента y(x) функционала J(y(x)) называется

• сумма двух функций dy=y(x) + y0(x)
• частное двух функций dy=y(x) и y0(x)
• разность между двумя функциями dy=y(x) — y0(x)
• произведение двух функций dy=y(x) и y0(x)

Вариационная задача на условный экстремум — это задача, в которой

• на допустимые функции накладываются дополнительные условия, которые называются условиями связи
• на допустимые функции не накладываются дополнительные условия
• искомая функция должна удовлетворять условиям трансверсальности
• искомая функция должна удовлетворять условиям ограниченности

Общий вид уравнения Эйлера следующий

Из данных утверждений неверным является следующее

• функция, непрерывная в замкнутом интервале, не может достигать на этом интервале наибольшего и наименьшего значений
• функция, непрерывная в замкнутом интервале, достигает на этом интервале по меньшей мере один раз наибольшего и наименьшего значений
• функция, непрерывная в замкнутом интервале, достигает на этом интервале по меньшей мере один раз наибольшего значения
• функция, непрерывная в замкнутом интервале, достигает на этом интервале по меньшей мере один раз наименьшего значения

Уравнения Гамильтона для функционала являются другой формой записи

• условий трансверсальности
• дополнительных ограничений на функцию и ее производную
• дополнительных ограничений на функцию
• уравнения Эйлера

Задача о нахождении кратчайшего расстояния между двумя заданными кривыми на плоскости является:

• вариационной задачей с подвижными границами
• задачей на нахождение экстремума функции
• задачей, сводящейся к нахождению корней алгебраического уравнения
• вариационной задачей с фиксированными границами

Глобальный экстремум функции f(x) на отрезке [a,b] может достигаться

• только, если f(a)=f(b)=0
• только во внутренних точках отрезка
• как во внутренних точках отрезка, так и на его границах
• только на границах отрезка

Функциональное уравнение Беллмана представляет собой

• подкласс обобщенного уравнения Лежандра
• подкласс уравнения Эйлера
• формальную запись принципа оптимальности
• гамильтониан