Численные методы решения задач математического анализа. Часть 1

Аппроксимация называется непрерывной, если аппроксимирующая функция φ(x)

• является многочленом
• является непрерывной
• строится на отрезке [a, b]
• аппроксимирует исходную непрерывную функцию f(x)

Критерий близости двух функций f(x) и φ(x) при среднеквадратичном приближении заключается в том, что на заданной системе точек ( i = 0, 1, 2, n ) минимизируется выражение

Квадратурная формула Гаусса для n точек разбиения является точной для многочлена степени

• 2n + 1
• n
• 2n — 1
• 2n

Подынтегральная функция y = f(x) задана таблично Вычисление интеграла методом Симпсона при h = 0,3 дает значение равное

• 0,84
• 0,81
• 0,7
• 0,793333

Для таблично заданной функции значение y(0,1), вычисленное с помощью квадратичной интерполяции, равно

• 0,04
• 0,028
• 0,02
• 0,03

Для задачи Коши один шаг метода Эйлера с h = 0,2 дает результат для y(1,2), равный

• 1,2
• 1,25
• 0,9
• 1,1

Один шаг метода Эйлера для задачи Коши с шагом h = 0,1 дает результат

• 2,4
• 2,2
• 0
• 2

Для таблично заданной функции величина равна

• 2,2
• 2,4
• 2
• 2,1

Уравнение Пуассона имеет вид

Рассматривается задача Коши для системы дифференциальных уравнений Один шаг метода Эйлера с h = 0,2 дает результат

• = 1,8; = 2,2
• = 0,7; = 1,9
• = 0,85; = 2,15
• = 0,9; = 2,1

Приближенные значения интеграла с шагами h и h ∕ 2 равны . Погрешность метода имеет вид . Уточненное значение интеграла по методу Рунге равно

• 3,5
• 2,9
• 3,15
• 3,3

Метод трапеций вычисления определенного интеграла использует аппроксимацию подынтегральной функции

• кусочно-линейной функцией
• квадратичной функцией
• кусочно-постоянной функцией
• гиперболой

Задана табличная функция y = f(x) Интеграл при вычислении методом трапеций равен

• 1
• 1,1
• 1,3
• 1,2

Для задачи Коши один шаг метода Эйлера с пересчетом с h = 0,2 дает результат для y(0,2), равный

• 2,05
• 2,1
• 2,4
• 2,2

Многочленом, наименее уклоняющимся от нуля, будет многочлен

• Гаусса
• Чебышева
• Ньютона
• Лагранжа

Формулы метода Эйлера с пересчетом для решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения имеют вид

Результат вычисления интеграла методом Симпсона с разбиением на два интервала (h = 1) равен

• 0,5
• 2∕3
• 3∕4
• 1

Для задачи Коши один шаг метода Эйлера с h = 0,1 дает результат для y(2,1), равный

• 3,5
• 4,1
• 3,2
• 4,2

Интерполяционный многочлен второй степени вида называется интерполяционным многочленом

• Гаусса
• Ньютона
• Чебышева
• Лагранжа

Для таблично заданной функции значение y(0,3), вычисленное с помощью квадратичной интерполяции, равно

• 0,94
• 0,88
• 0,9033
• 0,91

Явная разностная схема для решения уравнения теплопроводности является

• условно устойчивой
• абсолютно устойчивой
• абсолютно неустойчивой
• устойчивой при

Для задачи Коши один шаг метода Эйлера с пересчетом с h = 0,1 дает результат для y(1,1), равный

• 1,9105
• 1,987
• 1,891
• 2,005

Аппроксимация первой производной имеет погрешность порядка

• 2
• 3
• 1
• 1,5

Рассматривается задача Коши для системы дифференциальных уравнений Один шаг метода Эйлера с h = 0,1 дает результат

• = 2,2; = 1,3
• = 2,5; = 1,1
• = 2,4; = 1,4
• = 2,1; = 1,2

Подынтегральная функция y = f(x) задана таблично Вычисление интеграла методом прямоугольников при h = 0,2 дает значение, равное

• 1,02
• 0,76
• 0,79
• 0,68

Погрешность метода трапеций на всем отрезке интегрирования имеет порядок k, равный

• 2
• 1
• 3
• 1,5

Порядком разностного уравнения называется

• наибольший аргумент функции
• количество конечных разностей, входящих в уравнение
• количество дополнительных условий, определяющих единственность решения
• наибольшая степень неизвестной функции

Разностное уравнение имеет решение

Метод прямоугольников вычисления определенного интеграла использует аппроксимацию подынтегральной функции

• кусочно-постоянной функцией
• гиперболой
• кусочно-линейной функцией
• квадратичным сплайном

Разностная схема называется устойчивой, если

• решение разностной схемы стремится к константе
• она аппроксимирует дифференциальное уравнение
• малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения
• она определяет решение, не выходящее за круг данного радиуса

Рассматривается задача Коши для системы дифференциальных уравнений Один шаг метода Эйлера с h = 0,1 дает результат

• = 2,1; = 1,2
• = 1,2; = 2,2
• = 1,1; = 2,1
• = 2,2; = 1,2

Погрешность метода Симпсона на элементарном отрезке имеет порядок k, равный

• 2
• 4
• 3
• 5

В квадратурном методе Гаусса узловые точки на отрезке интегрирования расположены

• в точках, являющихся корнями многочлена Чебышева
• в точках, являющихся корнями многочлена Лежандра
• неравномерно, со сгущением к середине отрезка
• равномерно

Результат вычисления интеграла методом прямоугольников с разбиением на два интервала (h = 1) равен

• 0,666667
• 0,5
• 0,6
• 0,25

Если функция задана таблично: , то первые разности вычисляются по формулам:

Явлением Рунге называется такое поведение интерполяционного многочлена φ(x) на отрезке при равномерном распределении на нем узлов, когда при n ®¥

• φ(x) расходится во всех точках отрезка
• φ(x) сходится во всех точках отрезка, кроме его концов
• φ(x) сходится во всех точках отрезка
• значения этого многочлена на одной части отрезка сходятся к интерполируемой функции f(x), а на другой — нет

Краевую задачу для уравнения Лапласа называют задачей Дирихле, если граничные условия имеют вид

Решение разностного уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка ищется в виде

Общее решение разностного уравнения имеет вид

Интерполяцией называется такая аппроксимация исходной функции f(x) интерполирующей функцией φ(x), при которой

• минимальна

Функция u(x,y) задана таблицей Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности в точке x = 0,6 y = 1,2, равно

• 10
• 9
• 10,56
• 11

Ядро интегрального уравнения называется вырожденным, если оно имеет вид

• K( x, s ) = K( s, x )
• K( x, s ) = f ( x ).
• K( x, s ) = 0 при x = s

Разностное уравнение имеет порядок

• 2
• 4
• 3
• 1

Разностными называются уравнения,

• содержащие в записи знак минус
• содержащие разности значений функции в соседних дискретных точках
• полученные вычитанием двух линейных уравнений
• связывающие неизвестные значения сеточной функции при нескольких значениях дискретного аргумента

Условие устойчивости явной разностной схемы для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности имеет вид

Интерполяцией называется замена исходной таблично заданной функции f(x) интерполирующей функцией φ(x), при которой

• производные отличаются мало
• значения φ(x) и f(x) в среднем отличаются мало
• значения φ(x) и f(x) в узлах таблицы совпадают
• на всем отрезке

Подынтегральная функция y = f(x) задана таблично Вычисление интеграла методом трапеций при h = 0,5 дает значение равное

• 0,7
• 0,815
• 0,725
• 0,75

Функция u(x,y) задана таблицей Значение частной производной , вычисленное с помощью центральной разности в точке x = 0,6 y = 1,2, равно

• 3
• 2,4
• 2
• 1,987

Неявная схема является

• абсолютно неустойчивой
• условно устойчивой
• абсолютно устойчивой
• устойчивой при

Разностью второго порядка для функции y = f(x) является величина